¿Qué es el rectángulo áureo?

El rectángulo dorado (denominado también rectángulo áureo) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea.1 Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral logarítmica.

Cómo se crea un rectángulo Áureo

Tomando un cuadrado de 2 unidades de lado, se traza una recta que va desde el punto medio de la base hasta uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial a través de un arco de circunferencia (como se muestra en la figura) de esta manera obtenemos el lado mayor de un rectángulo. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro del teorema de Pitágoras (ver siguiente figura) que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es  (nuestro numero de oro).Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C

Otra propiedad es que la diagonal AB forma otro rectángulo de oro, y este proceso es iterativo, si ponemos en esa posición dos rectángulos de oro idénticos.

Armonía del rectángulo áureo:

La selección aurea ha sobrevivido mejor a todas esta aridez de códigos. Sus pretensiones a la hora de ofrecer una escritura formal y compositiva para la  articulación de partes en una unidad armónica- una oferta irresistible para el sentido unitario que es el primer requisito de toda obra de arte, por debajo de cual solo hay fragmentos- no han dejado de levantar adhesiones   hasta la actualidad. Es evidente que su fecunda versatilidad en todos los campos del dominio visual, la simplicidad de su empleo y flexibilidad de sus prestaciones han  contribuido a renovar sus prestigios al ser igualmente ajustable a los  dogmas academicistas que a las abstracciones estrictas.

El debate se abre sin embargo sobre sus supuestos títulos de vigencia y están lejos de cerrarse: un estudio del tema observa con ironía que por cada uno de sus partidarios surge un  detractor.

Matemáticamente basta decir que la sección aurea establece una relación entre las dos partes desiguales de un todo tal que la razón entre parte mayor y parte menos sea igual a la razón  entre parte mayor y todo. Es decir dado segmento C dividido en una parte mayor A y otra menor B.          

      

El desarrollo de esta ecuación  arroja como resultado el llamado numero phi según la letra griega o numero de oro: 1.6118033……

Este número es irracional es decir inconmensurable; pero este inconveniente grave  a la hora de aplicarlo por ejemplo a cálculos arquitectos-se obvia con el resultado  a la serie llamada de fibonacci. Este matemático italiano del siglo XIII la compuso de números tales que cada  uno es el resultado de la suma de los dos anteriores:

1,2,3,4,5,8,13,21,34,55,89,144…..

Las razones de cada número con su predecesor se aproximan gradualmente al número                

2/1:2,3/2:15,5/3:1666,8/:16,13/8:1625,21/13/:1615,34/21:11619,55/34:1617,89/55:1618…

La sección áurea tiene muchas consecuencias inmediatas. Es traspasable  al llamado “rectángulo de áureo”, en el que el lado mayor se encuentra   respecto al menor en ratio 1:1618… y a su vez ambos lados pueden dividirse en “phi” para utilizar  el punto de intersección como fulcro compositivo. Si dividimos solo el lado mayor obtendremos un cuadrado y un nuevo rectángulo aureo en posición inversa al original, repitiendo  el proceso indefinidamente surge una serie modular para garantizar de una espiral. El trazado de  pentágonos y decágonos regulares se simplifican  mucho recurrentemente a “phi”. Menos juegos en cambio parece hablar dado el ángulo “dorado”, producto de la división 360 grados por “phi” al cuadrado (130 grados, 30, 27,95).

Una de las ventajas de la sección áurea es que precisa un conocimiento menos que escolar de matemáticas para experimentar sus aplicaciones. Basta un divisor proporcional, de proporciones es decir aquel cuyas varillas se unan para el giro en un punto tal que las aberturas opuestas de sus cuatro puntas mantengan siempre una relación en “phi”. De este  modo es posible dividir una superficie proporcionalmente de manera inmediata o analizar compositivamente un cuadro o un plano arquitectónico. También puede ser muy útil un visor en rectángulo áureo especialmente si dividimos a su vez sus lados para marcar su intersección  en “phi”.

Pasando a la  trayectoria histórica la selección aúrea tiene tres momentos claves: su descubrimiento por los pitagóricos en el siglo VI A.C. un primer redescubrimiento en el Norte y Italia a finales del siglo XV, y un segundo en Alemania en la primera mitad del XIX.

El movimiento pitagórico fundado por Pitágoras de Samos (580-500) construye unas de las grandes corrientes intelectuales de la Antigüedad clásica cuyo influjo se proyecta mucho mas allá de su fase de apogeo en la Magna Griega, donde sus adeptos llegaron a formar un autentico poder político de corte aristocrático. Debemos al pitagorismo avances decisivos en las cuatro ramas de saber que privilegios sus enseñanzas- a partir de ciertos niveles solo accesibles a inicios: música, geometría, aritmética y astronomía. Así la geometría  se elevo desde su prehistoria empírica como en Egipto a una ciencia regulada por axiomas, teoremas y demostraciones: o la aritmética concibió por primera vez los números como entidades abstractas y no vinculadas forzosamente a cosas concretas. Otros hallazgos sensoriales fue la relación  entre  música y Numero a través del análisis de la proporción.

El movimiento pitagórico se disperso con la caída de su poder político en el sur de Italia hacia mediados del siglo V A.C pero sus legados se integro de modo natural en la mentalidad clásica, siendo especialmente perceptible en Platón, Euclides, Eudoxio o Vitrubio.

Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en los caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones.

Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el público en general por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}.

Leonardo de Pisa (Fibonacci).

Esta secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números (las "semillas" de la secuencia) y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos números anteriores. Esta simple regla genera una secuencia de números que tienen muchas propiedades sorprendentes, de las cuales citaremos algunas:

Tome tres números adyacentes de la secuencia. Eleve al cuadrado el número del medio. Multiplique los otros entre sí. La diferencia entre estos dos resultados es siempre 1. Por ejemplo, si tomamos {3, 5, 8} vemos que 5²=25 y que 3·8=24. La diferencia resulta ser 1.

Tome cuatro números adyacentes de la secuencia. Multiplique los dos de los extremos. Multiplique los que hay dentro. El primer producto será una unidad mayor o una unidad menor que el segundo. Por ejemplo, si tomamos {21, 34, 55, 89} vemos que 21·89=1869, mientras que 34·55=1870.

La suma de los diez números adyacentes es igual a 11 veces el séptimo de los diez.  Por ejemplo, si tomamos {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89} vemos que la suma resulta 231 que es 11 el séptimo número de nuestra sucesión (el número 21). 

Esto es sólo un ejemplo de muchas secuencias con las relaciones recursivas simples. La secuencia Fibonacci obedece a la relación recursiva P(n)=P(n-1)+P(n-2). En tal secuencia, los primeros dos valores deben ser arbitrariamente elegidos. Se les llama las "semillas" de la secuencia. Cuando se eligen al 0 y al 1 como semillas, o 1 y 1, o 1 y 2, la secuencia se denomina la secuencia Fibonacci. La secuencia formada a partir de la relación entre los números adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de 1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.

Una característica notable de esta secuencia es que la inversa de Φ  es 0,6180339887... que es igual a Φ-1. Dicho de otra manera, Φ = 1 + 1/Φ. Esto es cierto, sean cuales sean los dos números enteros que se usen como semillas para inicializar la secuencia, es decir, este resultado sólo depende de la relación recursiva que utiliza y no de la elección de las semillas. Por lo tanto hay muchas secuencias diferentes que convergen a Φ . Se les llama "secuencias generalizadas de Fibonacci".

A la relación Φ=1,6180339887... se llama "proporción áurea". Los rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos de oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y mística en este asunto matemático.

Es fácil inventar otras relaciones de recursividad interesantes. Algunas han sido lo suficientemente interesantes como para que lleven el nombre de sus autores. La sucesión de Lucas es bien conocida: {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...}. Tiene por semillas a 1 y 3, y la misma relación de recursión de la serie de Fibonacci (algunos libros inician esta serie con las semillas 2 y 1, y el resto de la serie sigue de la misma manera). La relación entre números adyacentes de la sucesión resulta ser Φ para grandes valores.

¿Y qué hay de una relación recursiva diferente? Por ejemplo: P(n)=P(n-2)+P(n-3). Con las tres semillas 0, 1, 1 se obtiene la sucesión {0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, ...}. Las semillas, junto con la relación de recursión, definen unívocamente a la secuencia. La relación entre dos términos sucesivos P(n+1)/P(n) converge a 1,3247295... cuyo recíproco es 0,7545776665... (tenga en cuenta que su recíproco no es una unidad menor que él mismo, al contrario de lo que podría haber esperado).

Por lo general, para todas estas sucesiones, los primeros valores de las relaciones entre dos números sucesivos no parecen tener un patrón consistente, pero para números grandes convergen a valores que son casi constantes, y después de n=30, la proporción alcanza un valor estable con alrededor de 10 decimales.

El orden está en el ojo del espectador

A veces, los autores "magufos" de ciencia, escriben libros que intentan persuadirnos de las "falsedades de Fibonacci". Citamos algunos ejemplos:

La caparazón del nautilus. Consideremos la afirmación, comúnmente vista, de que la caparazón del Nautilus pompilius se ajusta a la espiral de oro. La foto muestra un corte donde se observan las cámaras interiores. Para compararlas se ilustra una espiral dorada a la izquierda. ¡Es evidente que esta criatura no ha leído esos libros! Si se superponen ambas, no coincidirían nunca, sin importar cómo se las alinee o escale. De hecho, el dibujo de la izquierda no es del todo correcto. Está construido con segmentos de arco circular dentro de cada cuadrado. Esta curva tiene discontinuidades en su curvatura en cada cruce de un cuadrado al siguiente. La verdadera espiral de Fibonacci cambia de curvatura suavemente, aunque la diferencia no sería perceptible para el ojo a esta escala.Este diagrama muestra cómo subdividir el rectángulo áureo. Si se dibuja un cuadrado inscripto dentro de rectángulo, el área rectangular que queda es un nuevo rectángulo aúreo más pequeño. De nuevo, se puede dibujar otro cuadrado dentro de éste, y seguir así. A continuación, se unen los puntos con una curva suave, como se muestra para conseguir algo que, por lo menos, parece superficialmente la espiral de oro.

Arte y arquitectura. Algunos autores afirman que los artistas y arquitectos a largo de la historia han incorporado deliberadamente a Φ en las proporciones de sus trabajos, y a menudo se cita como ejemplo de ello al Partenón.

La proporción áurea aparece en el Partenón por todos lados...  ...si se eligen convenientemente los rectángulos.

Una fuente de internet dice que la letra griega Φ (phi) se utiliza para la razón áurea, porque el arquitecto del Partenón fue Fidias. Es curioso, pensábamos que phi era en honor a Fibonacci, ya que esta letra griega se pronuncia igual que la primera sílaba de su nombre (fi). Pero debemos preguntarnos, si Φ era tan importante para Fidias, entonces:

·    ¿Por qué lo incorporó únicamente en el extremo más pequeño del edificio?

·  ¿Por qué el rectángulo de planta está en proporción 7/16=0,4375, cuyo recíproco es 2,286? ¿No lo había hecho con la relación Φ o su recíproco? (hay algunos detalles del interior de la planta que se aproximan a la proporción áurea, pero no son visibles para alguien parado en su interior).

·   El Partenón se encuentra en una colina, y ninguna de sus características rectangulares se ven como rectángulos desde el suelo.

Fidias utilizó columnas que se estrechan hacia la parte superior, una ilusión empleada a menudo por los arquitectos que hace parecer más alta a la estructura.

Es muy difícil encontrar una foto, dibujo o pintura del Partenón visto de frente, para mostrar la belleza que se alega. Creo que la mayoría estará de acuerdo en que el aspecto más atractivo es el habitual, que muestra dos lados adyacentes, en perspectiva. El Partenón original se está desmoronando, pero hay una réplica a escala exacta en Nashville, Tennesee.

Diego de Velazquez utilizó en una de sus obras más conocidas la sección áurea para representar a la Meninas.

También Alberto Durero, aprovechó la armonía y belleza que desprende el número áureo en la composición de muchas otras obras, para representar a Adán y Eva. La curva que se forma en el rectángulo áureo, conocida como la espiral de Durero, fue descubierta por el pintor renacentista Alberto Durero.

Leonardo DaVinci utilizó las proporciones del rectángulo áureo para plasmarlas sobre la cara de la Mona Lisa.

Pero Leonardo no solo las utilizó en la cara de la Mona Lisa, también la utilizó en muchas otras obras reprentando la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo  Leonardo da Vinci . Sirvió para ilustrar el libro  La Divina Proporción   de  Luca Pacioli. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo .

Pero Leonardo no solo las utilizó en la cara de la Mona Lisa, también la utilizó en muchas otras obras reprentando la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci . Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo .

Encontrarnos con las propiedades divinas del número de oro en la Torre Eiffel en París. 

¿Secuencias de Fibonacci en la naturaleza?

Filotaxis. El diccionario define filotaxis como la historia o el curso de la evolución de algo. En biología, generalmente se refiere a cómo un ser vivo se desarrolla y cambia con el tiempo. Esta es una parte de la naturaleza, donde la secuencia de Fibonacci y las secuencias relacionadas parecen mostrarse muy a menudo y es legítimo preguntarse por qué. Los casos interesantes son las inflorescencias de las plantas, las semillas en el girasol y los patrones en las brácteas de las piñas.

Hemos señalado anteriormente que no todas las espirales en matemáticas o en la naturaleza son espirales de oro. Del mismo modo, las espirales pueden ser producidos por procesos no biológicos, si los elementos individuales que componen la espiral se establecen de acuerdo a algunas reglas simples. El problema para los biólogos es encontrar esas reglas. La mera afirmación de que "la naturaleza parece preferir los números de Fibonacci" (la mayor parte del tiempo, en algunos casos particulares) no es una explicación.

Espirales caseras. La foto muestra cómo las arandelas forman una cadena, a partir del centro. Cada una toca a la anterior, y cada vuelta apenas toca la envoltura anterior. No se ve un patrón evidente al principio, pero después de un número de vueltas, emerge un patrón de espirales adicionales. El patrón depende del radio de la envoltura con relación al radio de las arandelas.